2023-2024学年上学期期中

2023-2024学年上学期期中试卷

设 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin\dfrac{|x|}{n}$ ，则 $f(-2023)=\underline{\qquad}$ 。
已知函数 $y(x)$ 由参数方程
$\begin{cases} x=\dfrac{t}{1+t},\\[4pt] y=\dfrac{1-t}{1+t} \end{cases}$
确定，则 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\underline{\qquad}$ 。
函数极限 $\displaystyle\lim_{x\to2}(3-x)^{\frac{x-5}{x-2}}=\underline{\qquad}$ 。
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{3}{n}\ (n=1,2,\cdots)$ ，则 $f'(0)=\underline{\qquad}$ 。
设函数
$f(x)= \begin{cases} 2e^{-1/x^2},&x\ne0,\\ a,&x=0. \end{cases}$
则 $a=\underline{\qquad}$ 时， $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

设当 $x\to0$ 时， $(1-\cos x)\ln(1+x^2)$ 是比 $x\sin(x^n)$ 高阶的无穷小， $x\sin(x^n)$ 是比 $e^{x^2}-1$ 高阶的无穷小，则正整数 $n=$ （）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4
如果 $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=3$ ，则必有（）

A. $f(x)=3$

B. $\exists\delta>0$ ，当 $x\in\mathring U(2;\delta)$ 时， $f(x)\ne3$

C. $f(x)$ 在 $x=2$ 处无定义

D. $\exists\delta>0$ ，当 $x\in\mathring U(2;\delta)$ 时， $f(x)<4$
曲线 $y=2^{2-x}$ 在点 $P(2,1)$ 处的切线方程是（）

A. $x\ln2+y=1$

B. $x+y\ln2=1$

C. $x\ln2+y=2\ln2$

D. $x\ln2+y=1+2\ln2$
函数极限
$\lim_{x\to\infty}\frac{4x^4}{x+1}\left(\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\sin\frac{2}{x}\right)$
=（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3
若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则下列命题错误的是（）

A. 若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$

B. 若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$

C. 若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$ 存在，则 $f'(0)=0$

D. 若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f'(0)=0$

计算函数极限
$\lim_{x\to e}\frac{\ln x-1}{x-e}.$
已知 $y=x^2 3^x$ ，试求 $y^{(4)}(0)$ 。
计算由方程 $y=1+xe^y$ 所确定函数 $y(x)$ 的二阶导数 $\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=0}$ 。
设函数 $f(x)=\ln(1+x^2)$ ， $y=f^2\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right)$ ，求 $\left.dy\right|_{x=0}$ 。
计算数列极限
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt n\right).$

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$ 。求证： $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界。