2016-2017学年下学期期中

2016-2017学年下学期期中试卷（A）

已知 $A(2,-3,4)$ ， $B(3,-3,7)$ ， $C(2,-2,7)$ ，则三角形 $\triangle ABC$ 的面积是 $\underline{\qquad}$ 。
设 $u=2xy-z^2$ ， $u$ 在点 $(2,-1,1)$ 处方向导数的最大值为 $\underline{\qquad}$ 。
设 $u=f(x^2+y^2+z^2)$ ，其中 $f$ 具有三阶连续导数，则
$\frac{\partial^3u}{\partial y^2\partial z} = \underline{\qquad}.$
将二重积分
$I=\int_1^2dx\int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)\,dy$
变换积分次序得 $\underline{\qquad}$ 。
设 $f(x)$ 具有连续一阶导数，且 $f(0)=1$ ， $L$ 是任意闭曲线，若
$\oint_L xe^{2y}\,dx+e^{2y}f(x)\,dy=0,$
则 $f(x)=\underline{\qquad}$ 。

在 $x$ 轴上求一点 $P$ ，使点 $P$ 到点 $A(1,-3,6)$ 的距离为 $7$ ，则 $P$ 点关于 $x$ 轴的坐标为（）。

A. $3$

B. $-3$

C. $0$

D. $2$
极限
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(1-xy)^{\frac1x}$
等于（）。

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $e$
设 $D$ 为由折线 $|x|+|y|=1$ 所围成的区域， $D_1,D_2,D_4$ 为 $D$ 在第 $1,2,4$ 象限部分，则
$\iint_D e^{-(x^2+y)}\,dxdy=$
（）

A. $\displaystyle4\iint_{D_1}e^{-(x^2+y)}\,dxdy$

B. $\displaystyle4\iint_{D_4}e^{-(x^2+y)}\,dxdy$

C. $\displaystyle2\iint_{D_1+D_2}e^{-(x^2+y)}\,dxdy$

D. $\displaystyle2\iint_{D_1+D_4}e^{-(x^2+y)}\,dxdy$
设曲线 $L:x^2+y^2=1\ (y\ge0)$ ，其中正向是逆时针方向，则（）。

A. $\displaystyle\int_L\cos y\,dy>0$

B. $\displaystyle\int_L\cos y\,dx>0$

C. $\displaystyle\int_L\sin x\,dy>0$

D. $\displaystyle\int_L\sin x\,dx>0$
设曲面 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x=z^2$ 所截下的部分，则
$\iint_S\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dS=$
（）。

A. $\sqrt2(2-\pi)$

B. $\sqrt2(\pi-2)$

C. $(2-\pi)$

D. $(\pi-2)$

证明函数 $z=-(1+e^y)\cos x-ye^y$ 有无穷多个极大值点，但无极小值。（8 分）
求曲面 $x^2+2y^2+3z^2=21$ 平行于平面 $x+4y+6z=0$ 的切平面方程。（9 分）
设
$f(x,y)=\max_D\{x,y\},\quad D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le1\},$
计算
$I=\iint_D f(x,y)|y-x^2|\,d\sigma$
的值。（9 分）
计算
$\iiint_V(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz$
的值，其中
$V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z^2,\ 1\le z\le2\}.$
（9 分）
计算
$\int_C\sqrt{x^2+y^2}\,ds,$
其中 $C:x^2+y^2=-2y$ 。（9 分）
计算
$\iint_\Sigma y(x-z)\,dydz+(x^2+2yz)\,dzdx+(y^2+xz)\,dxdy,$
其中 $\Sigma$ 是 $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ ， $x+y+z=1$ 这四个平面所围成四面体表面的外侧。（9 分）