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2017-2018学年下学期月考

2017-2018学年下学期月考试卷​

一、填空题（每题 4 分，共计 20 分）​

  1. 求与平面 x−2y+z−3=0x-2y+z-3=0 垂直的单位向量 ‾\underline{\qquad}。

  2. 曲线

    {x24+y216−z22=1,x+z=0\begin{cases} \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{z^2}{2}=1,\\ x+z=0 \end{cases}

    对坐标平面 xoyxoy 的投影柱面方程为 ‾\underline{\qquad}。

  3. lim⁡(x,y)→(1,0)(x+y)x+y+1x+y−1=‾\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,0)}(x+y)^{\frac{x+y+1}{x+y-1}}=\underline{\qquad}。

  4. 设 z=(exy+x)xz=(e^{xy}+x)^x，则全微分 dz∣(1,0)=‾dz|_{(1,0)}=\underline{\qquad}。

  5. 函数 f(x,y,z)=x2y+z2f(x,y,z)=x^2y+z^2 在点 M(2,2,0)M(2,2,0) 处沿着曲面 2z=x2+y22z=x^2+y^2 在 MM 处的向外（下）的法线方向 n⃗\vec n 的方向导数为 ‾\underline{\qquad}。

二、选择题（每题 3 分，共计 15 分）​

  1. 设 △ABC\triangle ABC 的顶点为 A(3,0,2)A(3,0,2)，B(5,3,1)B(5,3,1)，C(0,−1,3)C(0,-1,3)，则三角形的面积为（ ）。

    A. 62\dfrac{\sqrt6}{2}

    B. 362\dfrac{3\sqrt6}{2}

    C. 363\sqrt6

    D. 464\sqrt6

  2. 函数 f(x,y)f(x,y) 在点 (0,0)(0,0) 某个邻域内连续，且

    lim⁡x→0y→0f(x,y)−xy(x2+y2)3=1,\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}} \frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^3}=1,

    则下列四个选项中正确的是（ ）。

    A. 点 (0,0)(0,0) 是 f(x,y)f(x,y) 的极大值点

    B. 点 (0,0)(0,0) 是 f(x,y)f(x,y) 的极小值点

    C. 点 (0,0)(0,0) 不是 f(x,y)f(x,y) 的极值点

    D. 无法判断点 (0,0)(0,0) 是否为 f(x,y)f(x,y) 的极值点

  3. 设有直线

    L1:x−11=y−5−2=z+81L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}

    与

    L2:{x−y=6,2y+z=3,L_2: \begin{cases} x-y=6,\\ 2y+z=3, \end{cases}

    则 L1L_1 与 L2L_2 的夹角为（ ）。

    A. π6\dfrac{\pi}{6}

    B. π4\dfrac{\pi}{4}

    C. π3\dfrac{\pi}{3}

    D. π2\dfrac{\pi}{2}

  4. 已知函数

    u(x,y)=φ(x+y)+φ(x−y)+∫x−yx+yψ(t) dt,u(x,y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y}\psi(t)\,dt,

    其中函数 φ\varphi 具有二阶导数，ψ\psi 具有一阶导数，在必有（ ）。

    A. ∂2u∂x2=−∂2u∂y2\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}

    B. ∂2u∂x2=∂2u∂y2\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2u}{\partial y^2}

    C. ∂2u∂x∂y=∂2u∂y2\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2u}{\partial y^2}

    D. ∂2u∂x∂y=∂2u∂x2\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}

  5. 若 fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)，fy(x0,y0)f_y(x_0,y_0) 都存在，则 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处（ ）。

    A. 极限存在但不一定连续

    B. 极限存在且连续

    C. 沿着任意方向的方向导数存在

    D. 极限未必存在，未必连续

三、计算题（每题 9 分，共计 54 分）​

  1. 求过点 (2,−1,3)(2,-1,3) 且与直线

    L:x−13=y+12=z+14−1L:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+14}{-1}

    垂直相交的直线方程。

  2. 求曲面 z=arctan⁡xyz=\arctan\dfrac{x}{y} 在点 (1,1,π4)\left(1,1,\dfrac{\pi}{4}\right) 处的切平面。

  3. 设

    f(x,y)={x−yx2+y2tan⁡(x2+y2),(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0),f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x-y}{x^2+y^2}\tan(x^2+y^2),&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}

    试讨论 f(x,y)f(x,y) 在点 (0,0)(0,0) 处的：

    (1) 连续性。（3 分）

    (2) 偏导的存在性，若存在，求出偏导数的值。（3 分）

    (3) 可微性，若可微，写出其微分。（3 分）

  4. 设函数 z=z(x,y)z=z(x,y) 由方程

    xy=exz−2zxy=e^{xz}-2z

    所确定。

    (1) 计算 ∂z∂x\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}。（3 分）

    (2) 计算 ∂2z∂x∂y\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}。（6 分）

  5. 设函数 z=u(x,y)eax+byz=u(x,y)e^{ax+by}，且

    ∂2u∂x∂y=0,\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=0,

    试确定常数 a,ba,b，使函数 z=z(x,y)z=z(x,y) 能满足方程：

    ∂2z∂x∂y−∂z∂x−∂z∂y+z=0.\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} -\frac{\partial z}{\partial x} -\frac{\partial z}{\partial y} +z=0.

  6. 将长为 22 米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，其面积分别为 S1,S2,S3S_1,S_2,S_3，求出当函数

    S=1S1+S2+S3S=\frac{1}{\sqrt{S_1+S_2+S_3}}

    取最大值时的铁丝分法。

四、综合题（共计 11 分）​

  1. 设函数 u(x,y)u(x,y) 的所有二阶偏导数都连续，且

    ∂2u∂x2=∂2u∂y2,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2u}{\partial y^2},

    又

    u(x,2x)=x,u1(x,2x)=x2.u(x,2x)=x,\quad u_1(x,2x)=x^2.

    (1) 计算 u2(x,2x)u_2(x,2x)。（4 分）

    (2) 计算 u11(x,2x)u_{11}(x,2x)。（7 分）